Análisis de dependencia entre variables

La relación de unas variables con otras viene determinada por las leyes de la Física, éstas se expresan como ecuaciones matemáticas en las que intervienen las diferentes magnitudes físicas. La mayor parte de las veces no es posible medir directamente en el laboratorio las magnitudes físicas que se desea conocer y hay que hacer uso de las ecuaciones que representan las leyes de la Física para calcularlas a través de las medidas experimentales de otras.

Las medidas experimentales llevan un error asociado que es necesario tener en  cuenta a la hora de utilizarlas para calcular magnitudes físicas. No siempre es fácil obtener un valor promediado de las medidas donde el error este minimizado. El error sistemático (debido al aparato de medida) puede considerarse igual en todas las medidas, y es por tanto, sencillo tenerlo en cuenta en el resultado final. Por el contrario, el error experimental (debido a nuestra propia incertidumbre a la hora de medir) no es el mismo en cada medida, y puede variar mucho o poco de unas medidas a otras. Seria necesario realizar un tratamiento estadístico en el que se diera mas peso a aquellas medidas mas cercanas a la real y menos peso a las mas alejadas de la realidad. Esto llevaría consigo la realización de gran número de medidas y un laborioso tratamiento matemático.

Una forma sencilla de obtener una media ponderada de una magnitud a través de medidas experimentales es el uso del ajuste por regresión lineal. La principal dificultad de este método es la elección de las variables a ajustar, que normalmente, no coinciden con las medidas experimentalmente.

REGRESION LINEAL

En la regresión lineal debemos de encontrar una línea recta que relacione las variables experimentales, de forma que se cumpla

y = a x + b (1)

Donde x e y representan las variables medidas directamente o variables relacionadas, a es la pendiente y b es la ordenada en el origen de la recta. La pendiente y la ordenada en el origen se obtienen del ajuste y nos permiten calcular la magnitud deseada.

A la hora de abordar un cálculo de este tipo hay tres pasos  diferenciados y principales a seguir: 1) elección de las variables con relación lineal, 2) cálculo de la pendiente y ordenada en el origen, 3)  obtención de la magnitud incógnita a partir de la pendiente y/o ordenada en el origen.

I. Elección de las variables con relación lineal

Lo primero que hay que conocer es la ecuación matemática que nos indica la relación física entre las medidas experimentales. Después es necesario transformar esa ecuación en la de una línea recta, teniendo en cuenta que debe cumplirse

Es decir debemos transformar nuestra relación física en otra que sea “variable igual a constante por variable más constante“. Una vez transformada, se debe construir una nueva tabla con las variables a representar, la variable  x y la variable y, que pueden o no coincidir con las medidas experimentales.

Cuando la variable medida se encuentra en una exponencial, suele ser necesario tomar logaritmos para encontrar la relación lineal.

 

II. Cálculo de la pendiente y la ordenada en el origen

Se  representa la  variable  x frente a  la variable y en papel milimetrado. Los puntos deberán formar una nube que defina una línea recta. En caso de que alguno aparezca aislado, esto significa que su error es demasiado grande y no debe eliminarse de la tabla. El método mas sencillo y usual del cálculo de la pendiente y ordenada en el origen es el de “mínimos cuadrados” o “regresión lineal”. En este método se minimizan los errores al ajustar los datos a una línea de tendencia.

Para una línea recta la pendiente, a,  y la ordenada en el origen, b, se calcula de acuerdo a la formula

Siendo n el numero de puntos utilizados en el ajuste.

La bondad del ajuste viene determinada por el coeficiente de correlación R,

Este número debe ser próximo a 1. Si los puntos no tienen ningún error y pertenecen a la recta el valor seria 1, cuanto mas se aleje de 1 mas se alejan los puntos de la recta del ajuste.

Si el número de puntos es grande la obtención de  a y b a partir de formulas anteriores es pesada, lleva tiempo y puede conducir a errores. Lo mejor es utilizar una calculadora de mano o un programa de ordenador con la herramienta “regresión lineal”, que permite obtener la pendiente y la ordenada en el origen a partir del conjunto de datos de la tabla y una secuencia sencilla de teclas. Cada calculadora tiene su propia secuencia de teclas, por lo que es necesario acudir a las instrucciones para conocerlas.

III. Obtención de la magnitud incógnita a partir de la pendiente y/o ordenada en el origen

Es necesario darle sentido físico a la pendiente y ordenada en el origen obtenido por regresión lineal. Para ello a los números se les añaden las unidades correspondientes.

Las de la pendiente serán las unidades de  y las de la ordenada en el origen las de y.

El número y las unidades de la pendiente se igualan a la constante a de la ecuación (2), y los de la ordenada en el origen a la constante b de la ecuación (2). Estas nuevas ecuaciones permiten obtener las magnitudes físicas deseadas.

Ejemplo

Un alumno mide en el laboratorio los periodos (T) correspondientes a diversos péndulos de longitud variable (l). Calcule a partir de estas medidas la aceleración de la gravedad.

Resolución

La ecuación que relaciona ambas magnitudes físicas es:

En esta ecuación T y l son variables y el resto, 4, π2 y g son constantes.

La ecuación que tenemos es de la forma

Que puede escribirse como

Si l es variable, √ l, también lo es. Esta expresión tiene la forma de la ecuación (2), necesaria para realizar el ajuste.

Se confecciona una nueva tabla de valores para representar

El último punto, que se encuentra aislado de la nube de puntos que determina la recta, se elimina de la tabla para realizar el ajuste.

Estos datos son los que se introducen en la calculadora para calcular la pendiente y ordenada en el origen por mínimos cuadrados.

Consideraciones

  1. La representación de los valores de la tabla T(s) frente a l(cm) daría una línea recta pero no de su ajuste no se podría calcular la g, pues la pendiente no tiene sentido físico

La pendiente existe matemáticamente, pero no tiene significado físico, T y l no pueden relacionarse de la forma

T = constante.l + constante

Por eso su representación a pesar de dar una representación lineal no es valida para calcular la aceleración de la gravedad.

2. Otra posibilidad correcta seria escribir la ecuación (6) de la forma




Una respuesta a Análisis de dependencia entre variables

  1. cristian narvaez dijo:

    muy buenos los dos problemas pero no se pueden crear un pdf con mas ejercicios
    prinsipalmente para los que estudiamos quimica si nos sirve bastante gracias

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